Меньший из отрезков на которые центр описанной около равнобедренного треугольника окружности делит его высоту, равен 8 см, а основание треугольника равно 12см. Найти площадь этого треугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AB — основание равнобедренного треугольника, а CD — отрезок, на который окружность делит высоту треугольника. Так как треугольник равнобедренный, то DE = FC.

Пусть точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда по теореме о центре описанной окружности в равнобедренном треугольнике, O лежит на высоте треугольника и DE = FC = 8 см.

Таким образом, EO = 8 см, OD = 12/2 = 6 см.

Так как OD и EO — радиусы вписанной окружности и описанной окружности треугольника ABC, то треугольник ODE — прямоугольный. По теореме Пифагора:

OD^2 + DE^2 = OE^2

6^2 + 8^2 = OE^2

36 + 64 = OE^2

100 = OE^2

OE = 10 см

Поскольку OE — радиус описанной окружности, а треугольник ABC равнобедренный, то EO — медиана и высота треугольника ABC. Площадь треугольника ABC равна:

S = 1/2 AB EO

S = 1/2 12 10

S = 60 см²

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 60 квадратным сантиметрам.