Векторы a, b и c удовлетворяют условию a+b+c=0. Доказать, что [ab]=[bc]=[ca].

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что [ab] = a x b = -c x a = -[ca]. Также можно показать, что [bc] = b x c = -a x b = -[ab]. Таким образом, мы получили, что [ab] = -[ca] и [bc] = -[ab]. Теперь осталось показать, что [bc] = [ca].

Для этого представим векторы a, b и c как сумму их проекций на плоскости, перпендикулярной вектору a + b + c = 0. Тогда мы можем представить векторы следующим образом: a = a' + a'', b = b' + b'', c = c' + c'', где a', b', c' - проекции на плоскость, перпендикулярную a + b + c, а a'', b'', c'' - проекции на вектор a + b + c.

Так как a + b + c = 0, то a' + a'' + b' + b'' + c' + c'' = 0. Тогда [ab] = a' x b' + a' x b'' + a'' x b' + a'' x b'' = a' x b' = -c'' x a' = -[ca] и аналогично [bc] = -[ab]. Таким образом, мы доказали, что [ab] = [bc] = [ca].