Коло вписано в чотирикутнык АВСD(дотична до всех сторон) Довести,що АВ+СD=AD+BC .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доведення:

Позначимо точки дотику кола зі сторонами чотирикутника АВСD як E, F, G та Н. Також позначимо сторони чотирикутника як АВ=a, ВС=b, CD=c та DA=d.

Звернемо увагу на трикутники AEF, BEG, CHD та DFG. Ці трикутники спільні зі збірниками кола, тому ми можемо застосувати властивості трикутників, щоб отримати такі рівності:

AE+EF=AF

BE+EG=BG

CH+HD=CD

DF+FG=DG

Також відомо, що внутрішні кутові годинники трикутників ціх трикутників дорівнюють 180 градусів, тому далі використовуємо теорему про годинники, щоб отримати:

AE+EB=AB

AF+FD=AD

BG+GC=BC

CH+HC=CD

Тепер додамо ці рівності разом:

AE+EF+BE+EG+CH+HD+DF+FG=AF+FD+BG+GC+CH+HC+DF+FG

AB+CD=a+b+c+d

AD+BC=d+c+b+a

Отже, ми довели, що АВ + CD = AD + BC.