Окружность радиуса 24 см касается большего основания и обеих боковых сторон равнобедренной трапеции. Найти большее основание трапеции, если центр окружности находится на расстоянии 40см от точки пересечения продолжений боковых сторон трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим большее основание трапеции как (AB) и радиус окружности как (r).

Так как окружность касается боковых сторон трапеции, то точки касания будут являться серединами этих сторон. Обозначим точки касания как (M) и (N).

Также, так как центр окружности находится на расстоянии 40 см от точки пересечения продолжений боковых сторон трапеции, то (OM = ON = 40) см.

Из этого следует, что (AM = AN = r).

Так как (AM =r), (BM = r), (AB = 2r).

Используем теорему Пифагора для треугольника (\triangle OBN):

[OB^2 = ON^2 + BN^2]
[OB^2 = 40^2 + r^2]

Используем теорему Пифагора для треугольника (\triangle OBM):

[OB^2 = OM^2 + BM^2]
[OB^2 = 40^2 + r^2]

Так как (BN = BM = AB/2):

[2OB^2 = 2 \times 40^2 + 2r^2]
[2OB^2 = 2 \times 40^2 + (AB/2)^2]
[4OB^2 = 2 \times 40^2 + (AB/2)^2]
[AB^2 = 4 \times 40^2 + 1600]
[AB^2 = 4 \times 1600 + 1600]
[AB^2 = 6400 + 1600]
[AB^2 = 8000]
[AB = \sqrt{8000} \approx 89.4 \text{ см}]

Итак, большее основание трапеции равно примерно 89.4 см.