В прямоугольном треугольникем точка касания вписанной окружности делит гипотенузуна отрезки 5 см и 12 см. Найдите длины катетов этого треугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть один катет треугольника равен (a), другой катет равен (b), а гипотенуза равна (c). Тогда можно записать уравнения:

[\begin{cases} a^2 + r^2 = 25 \ b^2 + r^2 = 144 \ a + b = c \end{cases}]

где (r) - радиус вписанной окружности.

Из первых двух уравнений можно найти, что (r = 4).

Подставим это в третье уравнение:

[a + b = c]
[a + b = \sqrt{a^2 + b^2}]
[a^2 + b^2 + 2ab = a^2 + b^2]
[2ab = b^2]
[2a = b]

Таким образом, (b = 2a), (a^2 + r^2 = 25), (b^2 + r^2 = 144). Подставим значение (r = 4):

[a^2 + 16 = 25]
[a^2 = 9]
[a = 3]

[b = 2 \cdot 3 = 6]

Итак, длины катетов равны 3 см и 6 см.