Угол между диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда равен
30°. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 60°.
Найдите высоту параллелепипеда, если его объем равен 18см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длины диагоналей основания прямоугольного параллелепипеда. Обозначим длины ребер основания параллелепипеда а, b и c, тогда диагонали основания будут равны:
d1 = √(a^2 + b^2)
d2 = √(a^2 + c^2)
Из условия задачи угол между диагоналями основания равен 30°, поэтому:
cos(30°) = d1d2 / (ab)
√3 / 2 = √(a^2 + b^2) √(a^2 + c^2) / ab
Учитывая, что объем параллелепипеда равен 18см^3, то abh = 18, где h - высота параллелепипеда. Также из условия задачи известно, что диагональ образует с плоскостью основания угол 60°, поэтому:
cos(60°) = h / d1
h = d1 * cos(60°)

Итак, у нас есть два уравнения, которые можно решить методом подстановки или методом преобразования уравнений:
1) √3 / 2 = √(a^2 + b^2) √(a^2 + c^2) / ab
2) ab h = 18

3) h = √(a^2 + b^2) cos(60°)
Подставляем (2) в (3) для упрощения
h = √(a^2 + b^2) cos(60°)
18 / ab = √(a^2 + b^2) cos(60°)
(a b) / ab = 18 / (a b)
1) a b = 18
Подставляем (1) в (3)
h = √(18 + c^2) * cos(60°)

Получается система уравнений, которую можно решить.