Найти расстояние до сторон треугольника от точки пересечения его биссектрис, если периметр равен 36см, а площадь равна 18 см²

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть стороны треугольника равны a, b, c, а точка пересечения биссектрис – точка I.

По условию известно, что периметр треугольника равен 36 см, то есть a + b + c = 36.

Также, известно, что площадь треугольника равна 18 см²:

S = √p(p - a)(p - b)(p - c), где p = 0.5(a + b + c).

Подставляем известные значения:

18 = √18(18 - a)(18 - b)(18 - c).

Решаем уравнение и находим значения сторон треугольника a, b и c.

От точки I проведем биссектрису треугольника до каждой из его сторон. Точка I делит каждую из биссектрис в отношении сторон треугольника. Найдем такое отношение:

Так как S = 18, то площадь треугольника, образованного точкой I и сторонами треугольника, будет равна S/3 = 6 см².

Пусть l1, l2, l3 – длины отрезков, на которые биссектриса треугольника разделяет стороны. Тогда:

S1 = 0.5 h1 l1,
S2 = 0.5 h2 l2,
S3 = 0.5 h3 l3.

где h1, h2, h3 – высоты, проведенные из точки I к сторонам треугольника.

l1 + l2 + l3 = p.

Так как S1 = S2 = S3 = 2 см², то h1 = h2 = h3 = 4 см.

Из формулы площади прямоугольного треугольника:

6 = 0.5 4 l1,
6 = 0.5 4 l2,
6 = 0.5 4 l3.

Отсюда l1 = 3, l2 = 3, l3 = 3.

Таким образом, расстояние от точки пересечения биссектрис треугольника до его сторон равно 3 см.