Катеты прямоугольного треугольника равны 36 и 48. Найдите расстояние от центра вписанной в этот треугольник окружности до высоты проведённой к гипотенузе

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длину гипотенузы прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

a^2 + b^2 = c^2,
36^2 + 48^2 = c^2,
1296 + 2304 = c^2,
3600 = c^2,
c = 60.

Теперь найдем площадь треугольника по формуле S = 0.5 a b, где a и b - катеты:

S = 0.5 36 48 = 864.

Радиус вписанной окружности равен S / p, где p - полупериметр треугольника:

p = (a + b + c) / 2 = (36 + 48 + 60) / 2 = 144 / 2 = 72.

r = 864 / 72 = 12.

Теперь нарисуем высоту треугольника, опущенную из вершины прямого угла на гипотенузу. Поскольку треугольник прямоугольный, высота будет совпадать с радиусом вписанной окружности. Теперь мы можем найти расстояние от центра окружности до высоты проведенной к гипотенузе как разность радиуса и расстояния от вершины прямого угла до центра окружности.

Так как катеты равны 36 и 48, а треугольник равнобедренный, то прямой угол является вершиной равнобедренного треугольника.

Рассмотрим один из таких треугольников. Пусть h - высота, проведённая к гипотенузе, x - расстояние от вершины прямого угла до центра вписанной окружности, r - радиус вписанной окружности.

Тогда h = r, x = r + r = 2r.

Сначала найдем площадь равнобедренного треугольника через один из катетов и высоту, проведенную к этому катету:

S = 0.5 36 r = 18r.

Затем найдем эту же площадь через половину гипотенузы и x:

S = 0.5 30 2r = 30r.

Таким образом, у нас получилось уравнение:

18r = 30r,
12r = 0,
r = 0.

Таким образом, получаем противоречие и невозможность изложенной ситуации.