Докажите что медианы равностороннего треугольника делятся их точкой пересечения в отношении 2:1 считая от вершины

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть ABC - равносторонний треугольник, с медианами AD, BE и CF, пересекающимися в точке O.

Докажем, что точка O делит медианы в отношении 2:1.

Проведем диагонали треугольника ABC до их точек пересечения в точке O.Так как треугольник ABC равносторонний, то диагонали и их точка пересечения O являются одновременно медианами и центрами тяжести треугольника.Проведем медиану BE и проведем параллельную к AC через точку O.Обозначим точку пересечения этой прямой с стороной BC - точкой M, а точку пересечения с AB - точкой N.Так как O - центр тяжести, то AM = MB и AN = NC.Также треугольник ABC равносторонний, значит, BM = MC.Таким образом, AM + MB + AN + NC = AC, т.е. 2AM + AN = AC.Но так как O делит медианы BE и CF в отношении 2:1, то BO = 2OM.Из пункта 8 следует, что AN = 2OM, т.е. OM = 1/2AN, а также AM = MB = 1/2BO.Значит, AM + MB = 1/2(BO+BO) = BO = MO = 1/3AC.Таким образом, точка O делит медианы BE и CF в отношении 2:1, что и требовалось доказать.