Около прямоугольного равнобедренного треугольника АВС описана окружность с центром в точке О и радиусом 5√6 см. Найдите длину средней линии ОК

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сначала найдем стороны треугольника АВС. Так как треугольник равнобедренный, то сторона АВ равна стороне АС. Пусть длина стороны АВ равна х.

Так как прямоугольный треугольник, то по теореме Пифагора имеем:
(АО)² + (ОВ)² = (10√6)²
(АО)² + (х/2)² = 300
(АО)² + (х²/4) = 300
(АО)² + х²/4 = 300

Так как точка О - центр описанной окружности, то отрезки ОВ и ОС равны радиусу описанной окружности, то есть 5√6 см. Тогда получаем уравнение:
(ОВ)² + (ОС)² = (ВО)²
(х/2)² + х² = (10√6)²
(х²/4) + х² = 300
5х² = 1200
х² = 240
х = √240 = 4√15 см

Теперь найдем длину средней линии ОК, которая является средним арифметическим двух радиусов вписанной и описанной окружностей:
ОК = (OA + OB)/2
ОК = (5√6 + √240)/2
ОК = (5√6 + 4√15)/2
ОК = 9√5 см

Итак, длина средней линии ОК равна 9√5 см.