Из вершины прямого угла С треугольника АВС проведена высота СР. радиус окружности, вписанной в треугольник ВСР, равен 8, тангенс угла ВАС равен 4/3. найдите радиус вписанной окружности треугольника АВС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиус вписанной окружности треугольника АВС как r. Так как окружность, вписанная в треугольник ВСР имеет радиус 8, то высота треугольника ВСР, проведенная из вершины угла R, равна 16 (так как это отрезок, проведенный из вершины прямого угла треугольника).

Найдем теперь длину отрезка СР. Поскольку отрезок СР - высота треугольника ВСР, то он равен 16. Теперь мы можем найти отрезок СВ, проведя его как высоту треугольника АВС из вершины С. Поскольку тангенс угла ВАС равен 4/3, то отношение длины отрезка СВ к СР равно 4/3 -> СВ = (4/3)*16 = 64/3.

Теперь мы имеем в треугольнике АВС два треугольника: прямоугольный BVC с катетами 8 и 64/3 и прямоугольный трапецию ACSR с основаниями 16 и r и диагональю 64/3.

Для треугольника BVC можем воспользоваться теоремой Пифагора: (8)^2 + (64/3)^2 = BC^2 -> BC = 64/3√13.

Теперь обозначим длины отрезков AS и CR как h1 и h2 соответственно. Так как треугольник ACR подобен трапеции ACSR, то h2/(16+r) = 8/BC -> h2/(16+r) = 3/64√13 -> h2 = 3(16+r)/64√13.

С другой стороны, так как треугольник ABC подобен треугольнику ARC, то r/(16+r) = BC/64/3 -> r/(16+r) = 64/13 -> r = 64/13 * 16/3 = 128/13.

Итак, радиус вписанной окружности треугольника АВС равен 128/13.