Окружность радиуса 3 см, центр
О которой лежит на гипотенузе АС
прямоугольного треугольника АВС, касается его катетов. Найдите
площадь треугольника АВС, если OB
= корень из 10 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи видно, что окружность радиуса 3 см касается катетов треугольника АВС. Пусть точки касания на катетах равны D и E, а точка касания на гипотенузе АС равна F.

Так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания, то треугольник BDO и треугольник BEO - прямоугольные треугольники.

По теореме Пифагора в треугольнике BDO:
BD^2 + OB^2 = BD^2 = DO^2
BD^2 + 3^2 = DO^2
BD^2 + 9 = DO^2

По теореме Пифагора в треугольнике BEO:
BE^2 + OB^2 = BE^2 = EO^2
BE^2 + 3^2 = EO^2
BE^2 + 9 = EO^2

Так как BE = BD и EO = DO:
BD^2 + 9 = BE^2 + 9
BD^2 = BE^2

Значит, BD = BE

Теперь заметим, что треугольник АВС подобен треугольнику DOF, так как DOF является утроенным треугольником треугольника BDE (в каждом из которых углы прямые и стороны пропорционально умножены на один и тот же коэффициент).

Пусть сторона треугольника АВС, параллельная стороне DOF, равна x. Тогда отношение сторон треугольников АВС и DOF равно x/3. Отношение ближнего к гипотенузе катета треугольников равно (x+3)/3.

Так как DO = OB = √10 см, то DF = OB + BD = √10 + 3.

Отношение ближнего к гипотенузе катета найти кнопкой √x - √y/3 √x = [(√10 + 3) - 3] / 3 = (√10 - 3 + 3) / 3 = (√10 / 3) см.

Теперь можем найти сторону треугольника x = 3 √10 см.

Площадь треугольника АВС = x * (x + 3) / 2 = 90 / 2 = 45 см^2.