В треугольнике ABC медианы BB1 и CC1 пересекается в точке О и равны 15см и 18см соответственно. Найдите периметр треугольника ABC, если угол BOC=90°

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сначала найдем длину медианы AA1. Пусть M - точка пересечения медиан BB1 и CC1.

Так как треугольник ABC - это треугольник, полученный в результате пересечения треугольников ACM и ABM медианой AA1, то точка O является центром масс этого треугольника. Так как медианы пересекаются в данном случае в одной точке, то она делит медиану AA1 в отношении 2:1. Поэтому AM = 2*AO.

Так как OM - медиана в треугольнике BOC, то BM = 2OM. По определению, OM = 1/3BM. То есть, AM = 23OM = 6*OM.

По теореме Пифагора в треугольнике BOC: BC^2 = BO^2 + OC^2 = (2OM)^2 + (3OM)^2 = 4OM^2 + 9OM^2 = 13*OM^2.

Отсюда получаем, что OM = BC / √13 = 15 / √13 = 15√13 / 13.

Так как AM = 6*OM, то AM = 90√13 / 13.

Теперь находим длину медианы AA1: AA1 = 3*AM = 270√13 / 13.

Теперь можем найти стороны треугольника ABC: AB = 2AA1 = 540√13 / 13, AC = 2AM = 180√13 / 13.

Периметр треугольника ABC равен: 540√13 / 13 + 180√13 / 13 + 15 = 720√13 / 13 + 15.