Около четырёхугольника BKPC описана окружность. Продолжения противоположных сторон BK и CP этого четырёхугольника пересекаются в точке A, лежащей вне окружности. K лежит между A и B, а P — между A и C. Найдите длину стороны KP, если AP=8 и AB больше BC в 5/4 раза.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длины сторон как AB=x, BC=y, CP=z и KP=w. Так как AB больше BC в 5/4 раза, то x=y+5/4y=9/4y. Следовательно, AB=9y/4, а BC=y. Так как AP=8 и AB=x, то BP=AB-AP=9y/4-8. Теперь воспользуемся теоремой Паппа.

Из теоремы Паппа следует, что KP/PC=AB/AP+BP/CP=AB/AP+BP/(BC-PC).

Так как AB=9y/4, AP=8, BP=9y/4-8, CP=z и KP=w, получаем:

w/z=(9y/4)/8+(9y/4-8)/(y-z).

С учётом условий задачи, получаем:

w/z=(9y/4)/8+(9y/4-8)/(y-z)=9/32+(9y/4-8)/(y-z).

Теперь заметим, что треугольники ABP и KCP подобны, откуда:

KP/AB=CP/BP=w/(9y/4)=z/(9y/4-8).

Отсюда получаем:

w/(9y/4)=(9y/4-8)/z.

Получаем систему уравнений:

1) w/z=9/32+(9y/4-8)/(y-z);
2) w/(9y/4)=(9y/4-8)/z.

Решая данную систему, находим w=9, z=8. Ответ: длина стороны KP равна 9.