Меньший из отрезков на которые центр описанной около равнобедренного треугольника окружности делит его высоту, равен 5 см а основание треугольника равна 12 см. Найти площадь этого треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AB - основание треугольника, C - вершина, H - высота, O - центр описанной окружности, M - точка пересечения высоты с окружностью. Так как центр описанной около равнобедренного треугольника окружности делит его высоту, то HM = 5 см.

Так как треугольник ABC - равнобедренный, то MO = AO = R, где R - радиус описанной окружности.

Также из треугольника AMO можно найти высоту OM по теореме Пифагора:
OM^2 = AM^2 - AO^2
OM^2 = (1/2 AC)^2 - R^2
OM^2 = (1/2 12)^2 - R^2
OM^2 = 36 - R^2

С другой стороны, так как HM = 5 см, то MO = HM, а значит по теореме Пифагора:
OM^2 + HM^2 = OH^2
(36 - R^2) + 25 = OH^2
61 - R^2 = OH^2

Так как OH = R (по свойству центра описанной окружности равнобедренного треугольника), то получаем:
R^2 = 61 - R^2
2R^2 = 61
R^2 = 61 / 2
R = √(61 / 2) ≈ 4.95 см

Теперь можем найти площадь треугольника ABC:
S = 1/2 AB H
S = 1/2 12 HM
S = 1/2 12 5
S = 30 кв. см

Итак, площадь треугольника ABC равна 30 кв. см.