Биссектрисы двух углов треугольника пересекают описанную вокруг него окружность в точках M и K. Докажите что отрезок MK перпендикулярен биссектрисе третьего угла

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим биссектрисы углов треугольника как AI, BJ и CK, где I, J и K - точки пересечения биссектрис с окружностью.

Так как точки M и K лежат на описанной окружности, углы AMK и CKM равны половине углов на центральной окружности, опирающихся на те же дуги, то есть AMK = AAK и CKM = CCK. Таким образом, треугольник КАМ является равнобедренным.

Теперь рассмотрим углы A и C:

∠KAI = ∠KCI (биссектрисы угла A и C)

∠KIA = ∠KIC (равнобедренность треугольника КАМ)

Отсюда следует, что треугольник KIA подобен треугольнику KIC по углу-углу.

Таким образом, угол KAI равен углу KCI. Отсюда можно заключить, что отрезок MK перпендикулярен биссектрисе третьего угла.