Докажите что медиана прямоугольного треугольника проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы.
Дано: Треугольник ABC, Угол BCA=90 градусов

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения построим медиану треугольника ABC, проведенную из вершины прямого угла C.

Пусть D - середина стороны AB (точка, в которой пересекаются медиана и гипотенуза), E - точка пересечения медианы и гипотенузы.

Так как точка D - середина стороны AB, то BD = AD.
Также, так как точка E - точка пересечения медианы и гипотенузы, то EC = EA.

Таким образом, треугольник EAC равнобедренный, а значит угол EAC равен углу ECA.
Но угол BCA = 90 градусов, поэтому угол ECA тоже равен 90 градусов.

Таким образом, треугольник EAC - прямоугольный и равнобедренный. Из этого следует, что точка E - середина гипотенузы AC.

Следовательно, медиана треугольника ABC, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.