В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 2, а высота равна 3. Найдите угол между плоскостями ABC и A1BC1.
Решить задачу методом координат!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала определим координаты вершин треугольной призмы. Пусть вершины A, B, C находятся в верхнем основании, а вершины A1, B1, C1 - в нижнем основании.

Пусть точка A имеет координаты (0, 0, 0), B - (2, 0, 0), C - (0, 2, 0). Тогда вершины A1, B1, C1 будут иметь координаты (0, 0, 3), (2, 0, 3), (0, 2, 3) соответственно.

Теперь найдем векторы, задающие плоскости ABC и A1BC1. Возьмем векторы AB = B - A = (2, 0, 0), AC = C - A = (0, 2, 0) и A1B1 = B1 - A1 = (2, 0, 3), A1C1 = C1 - A1 = (0, 2, 3).

Найдем нормали к этим плоскостям, воспользовавшись их векторными произведениями:
n1 = AB x AC = (2, 0, 0) x (0, 2, 0) = (0, 0, 4),
n2 = A1B1 x A1C1 = (2, 0, 3) x (0, 2, 3) = (-6, 6, 4).

Теперь найдем косинус угла между этими нормалями (который равен косинусу угла между плоскостями ABC и A1BC1):
cos(θ) = (n1 n2) / (|n1| |n2|) = (0 -6 + 06 + 44) / sqrt(0 + 0 + 16) sqrt(36 + 36 + 16) = 16 / 8*14 = 16 / 112 = 1 / 7.

Отсюда получаем, что угол между плоскостями ABC и A1BC1 равен arccos(1 / 7), то есть примерно 27.57 градусов.