Постройте график функции y=(x2 + 4)(x-1)/1-x и определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим график функции y=(x^2 + 4)(x-1)/(1-x):

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-10, 10, 1000)
y = (x*2 + 4)(x-1)/(1-x)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y=(x^2 + 4)(x-1)/(1-x)')
plt.grid(True)
plt.show()

Теперь определим при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
Это произойдет, когда график функции y=(x^2 + 4)(x-1)/(1-x) и прямая y=kx пересекаются и касаются в точке.
Для этого найдем точку пересечения и точки касания.

Точка пересечения двух графиков находится путем решения системы уравнений функции и уравнения прямой:
1) y=(x^2 + 4)(x-1)/(1-x)
2) y=kx

Подставляем уравнения функции и прямой друг в друга:
(x^2 + 4)(x-1)/(1-x) = kx

(x^2 + 4)(x-1) = kx(1-x)

Разложим левую часть:
x^3 - x^2 + 4x - 4 = kx - kx^2

Приведем к виду уравнения и решим его:
x^3 + kx^2 - x + 4 - 4kx = 0

Для того, чтобы прямая касалась графика ровно в одной точке, дискриминант этого уравнения должен быть равен 0.

Найдем дискриминант:
D = (-1)^2 - 41(4 - 4k) = 1 - 16 + 16k = 16k - 15

Получается, что 16k - 15 = 0
16k = 15
k = 15/16

Таким образом, прямая y = (15/16)*x имеет с графиком функции y=(x^2 + 4)(x-1)/(1-x) ровно одну общую точку.