Докажите что в треугольнике медиана не меньше высоты проведенной из той же вершины

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого утверждения обратимся к свойствам треугольника.

Пусть дан треугольник ABC, медиана BD и высота BH проведены из вершины B.

Пусть P - середина стороны AC, тогда, так как BD - медиана, то BP = PD.

Также, так как BH - высота, то треугольник BHC - прямоугольный, и по основному свойству прямоугольного треугольника мы знаем, что BD - медиана, которая делит сторону AC пополам, равна половине гипотенузы HC, то есть BD = 0.5*HC.

Тогда, сравнивая BD и BH, получаем, что BD = 0.5*HC > BH, так как BD - медиана, которая больше половины гипотенузы. И значит, медиана для этого треугольника всегда будет больше высоты проведенной из той же вершины.