Через вершину правильной треугольной пирамиды проведено сечение, перпендикулярно плоскости основания. Найти площадь сечения, если боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 60°, а длина стороны основания равна 8см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти площадь сечения, нам нужно найти проекцию бокового ребра на плоскость основания.

Рассмотрим правильный треугольник ABE, где A и B - вершины основания, E - середина боковой грани. Поскольку боковые грани наклонены к основанию под углом 60°, то треугольник ABE является прямоугольным, причем E - середина AB. Таким образом, AE = BE = 8см/2 = 4см, а угол AEB = 90°.

Теперь рассмотрим треугольник ABC, где C - середина ребра пирамиды, выходящего из вершины. Угол ∠BAC = 30°, так как боковые грани пирамиды равные равны и образуют угол 60° вверху. Таким образом, ∠ACB = 90° - 30° = 60°.

Пусть x - искомая площадь сечения. Тогда BC = x/2, так как C - середина сечения. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По теореме Пифагора, AB^2 = AC^2 + BC^2. Подставляем известные значения и находим x:

8^2 = 4^2 + (x/2)^2
64 = 16 + x^2/4
48 = x^2/4
192 = x^2
x = √192 = 8√3

Ответ: площадь сечения равна 8√3 квадратных сантиметров.