Высота AF делит сторону BC треугольника ABC на отрезки BF и CF. Найдите сторону AC, если CF = √13 см, ∠B = 60°, а сторона AB равна 18 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов.

По теореме косинусов:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB BC * cos(∠B).

Так как угол B равен 60°, то cos(60°) = 1/2.

По условию известно, что CF = √13, а BF = BC - CF. Таким образом, CF + BF = BC, CF + BF = BC, √13 + BF = BC.

Итак, получаем:
AC^2 = 18^2 + (√13 + BF)^2 - 2 18 (√13 + BF) * 1/2.

Выразим BF через BC:
√13 + BF = BC,
BF = BC - √13.

Подставим это в исходное уравнение:
AC^2 = 18^2 + (√13 + (BC - √13))^2 - 2 18 (√13 + (BC - √13)) * 1/2.

Раскроем скобки и упростим:
AC^2 = 18^2 + (√13 + BC - √13)^2 - 18√13 - 9 = 18^2 + BC^2 - 18BC + 13 - 18√13 - 9.

Так как CF = √13, то можно заметить, что треугольник BCF является прямоугольным, поэтому применим теорему Пифагора:
BC^2 = CF^2 + BF^2,
BC^2 = 13 + BF^2.

Подставим BC^2 в исходное уравнение:
AC^2 = 18^2 + 13 + BF^2 - 18BC + 13 - 18√13 - 9.

Сократим подобные слагаемые:
AC^2 = 18^2 + BF^2 - 18BC - 18√13 + 17.

Таким образом, мы нашли квадрат стороны AC. Далее найдем саму сторону AC:
AC = √(18^2 + BF^2 - 18BC - 18√13 + 17).

Для того, чтобы найти сторону AC, нам нужно найти BF и BC. Для этого построим биссектрису угла B, которая делит сторону AC на два отрезка в соотношении, равном отношению сторон AB и BC:
BF = AB BC / (AB + AC),
CF = AC AB / (AB + AC).

Также для вычисления стороны AC, нам нужно найти сторону BC. Для этого найдем угол C по формуле синусов:
sin(C) = sin(180° - 60° - C) = sin(120° - C).

Так как sin(120° - C) = sin(120°)cos(C) - cos(120°)sin(C), и sin(120°) = √3/2, cos(120°) = -1/2, то sin(120° - C) = (√3/2)cos(C) - (-1/2)sin(C).

Подставив sin(C) = CF / AB в это уравнение и найдя угол C, известное значение синуса угла C, можем найти сторону BC.

Теперь, подставив найденные значения BC и BF в ранее найденное уравнение для стороны AC, получим окончательный результат.