3) В треугольник со сторонами 9 см, 12 см, 15 см вписана окружность.Сделайте чертеж и найдите отрезки, на которые точки касания сторон со вписанной окружностью разбивают стороны треугольника
4) В треугольник АВС с углом при вершине В в 70 градусов вписана окружность с центром О. Сделайте чертеж и найдите, чему равна величина угла АОС
5) Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник АВС, касается катетов АС и ВС в точках Р и Q соответственно. Известно, что АР=4см, ВQ=6 см. Чему равняется АВ?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

3) Отрезки, на которые точки касания сторон со вписанной окружностью разбивают стороны треугольника, равны 3 см, 4 см и 5 см.

4) Угол АОС равен 40 градусов.

5) Сначала найдем длину гипотенузы треугольника ABC:
AC^2 + BC^2 = AB^2
По теореме Пифагора
AC = 4^2 + 6^2
AC = √52
AC = 2√13 см

Так как касательные к окружности из точки внутри окружности равны, то AP = BQ.
Пусть AP = BQ = x
Тогда 4 + 6 = x + x
10 = 2x
x = 5 см

Заметим, что треугольник AOR и треугольник BOR подобны по причине того, что имеют общий угол O и при вершине R оба треугольника прямые углы. Следовательно, AR/OR = PR/QB
4/OR = 5/(AB-6)
4/OR = 5/(AC-4)

Теперь найдем отношение длин сторон треугольников AOR и ВОR:
4/OR = 5/(2√13-4)
4/OR = 5/(2(√13 - 2))

Из подобия треугольников АОR и ВOR следует, что соответствующие стороны пропорциональны. Таким образом, можно найти длину отрезка OR и далее найти длину стороны АВ.