Высота BH ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=1 и HD=8. Найдите BD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим за x длину отрезка BH. Так как BH является высотой ромба, то угол ABC прямой. Таким образом, треугольник ABH является прямоугольным.

По теореме Пифагора для треугольника ABH:
AB^2 = AH^2 + BH^2
AB^2 = 1 + x^2 (1)

Также, так как AH и HD делят сторону AD в отношении 1:8, то получаем:
AD = AH + HD = 1 + 8 = 9

Так как ABCD это ромб, то стороны ромба равны между собой, то есть AD = BC = 9. Также, так как ABCD это прямоугольник, то сторона BC параллельна стороне AD, а значит треугольник BCD прямоугольный.

Из прямоугольности треугольника BCD имеем:
BC^2 + CD^2 = BD^2
BC^2 + (9 - x)^2 = BD^2
(9)^2 + (9 - x)^2 = BD^2
81 + 81 - 18x + x^2 = BD^2
162 + x^2 - 18x = BD^2 (2)

Так как BD является диагональю ромба, то BD равна диагонали AC. Так как две диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят друг друга пополам, то AC равна вдвое большей стороне ромба, то есть AC = 2 AD = 2 9 = 18.

Из теоремы Пифагора для треугольника BCD:
BC^2 + CD^2 = AC^2
BC^2 + (9 - x)^2 = 18^2
BC^2 + 81 - 18x + x^2 = 324
BC^2 + x^2 - 18x = 243
BC^2 + x^2 - 18x = BD^2 (3)

Из уравнений (1), (2) и (3) получаем систему уравнений:
1) AB^2 = 1 + x^2
2) 162 + x^2 - 18x = BD^2
3) BC^2 + x^2 - 18x = BD^2

Решив систему уравнений, найдем x и BD:
1) AB^2 = 1 + x^2
1 + x^2 = 1 + x^2
Как видно из уравнения, оно верно.
Таким образом, x = 0 и BD = 162.