В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­сы CN и AM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P. Найдите угол МРN

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Угол MPN равен 60 градусов.

Доказательство:

Поскольку треугольник ABC равносторонний, то угол BAC равен 60 градусов. Так как CN и AM являются биссектрисами углов C и A соответственно, то углы MCN и NCB равны углам NCA и ACB, а углы ABM и MCB равны углам MAC и ACM.
Таким образом, получаем, что угол MCP равен углу NCA, а угол NCP равен углу ACB. Аналогичные равенства можно провести и для углов AMP и MCA, а также NBP и BCN.
Из этого следует, что треугольники MCP и ACN подобны по двум углам. Аналогично, треугольники NBP и BCN также подобны по двум углам.
Таким образом, треугольники MCP и NBP подобны, а значит, углы MPN и NPB равны. Так как угол NPB равен 60 градусов (поскольку треугольник ABC равносторонний), то угол MPN также равен 60 градусов.