Дано: А(-6;1), В(0;5), С(6;-4), D(0;-8). Докажите, что АВСD – параллелограмм, найдите его периметр.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства того, что четырехугольник АВСD - параллелограмм, нужно показать, что противоположные стороны параллельны.

Найдем уравнения прямых, содержащих стороны четырехугольника АВСD:

Уравнение прямой АВ:
Уравнение прямой через точки A(-6;1) и B(0;5) имеет вид:
y = kx + b
где k - коэффициент наклона прямой, b - свободный член.

Найдем k:
k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (5 - 1) / (0 - (-6)) = 4 / 6 = 2 / 3

Подставим одну из точек в уравнение для нахождения b:
1 = (2 / 3) * (-6) + b
b = 1 + 4 = 5

Таким образом, уравнение прямой АВ: y = (2 / 3)x + 5

Уравнение прямой ВС:
Уравнение прямой через точки B(0;5) и C(6;-4) имеет вид:
y = kx + b

Найдем k:
k = (-4 - 5) / (6 - 0) = -9 / 6 = -3 / 2

Подставим одну из точек в уравнение для нахождения b:
5 = (-3 / 2) * 0 + b
b = 5

Таким образом, уравнение прямой ВС: y = (-3 / 2)x + 5

Уравнение прямой CD:
Уравнение прямой через точки C(6;-4) и D(0;-8) имеет вид:
y = kx + b

Найдем k:
k = (-8 - (-4)) / (0 - 6) = -4 / (-6) = 2 / 3

Подставим одну из точек в уравнение для нахождения b:
-4 = (2 / 3) * 6 + b
b = -4 - 4 = -8

Таким образом, уравнение прямой CD: y = (2 / 3)x - 8

Уравнение прямой DA:
Уравнение прямой через точки D(0;-8) и A(-6;1) имеет вид:
y = kx + b

Найдем k:
k = (1 - (-8)) / (-6 - 0) = 9 / (-6) = -3 / 2

Подставим одну из точек в уравнение для нахождения b:
-8 = (-3 / 2) * 0 + b
b = -8

Таким образом, уравнение прямой DA: y = (-3 / 2)x - 8

Теперь, чтобы доказать, что четырехугольник АВСD - параллелограмм, нужно показать, что противоположные стороны параллельны.

Прямая АВ: y = (2 / 3)x + 5
Прямая CD: y = (2 / 3)x - 8
Прямая ВС: y = (-3 / 2)x + 5
Прямая DA: y = (-3 / 2)x - 8

Прямая АВ и прямая CD имеют одинаковый коэффициент наклона (2 / 3), значит они параллельны.

Прямая ВС и прямая DA имеют одинаковый коэффициент наклона (-3 / 2), значит они параллельны.

Отсюда следует, что четырехугольник АВСD - параллелограмм.

Теперь найдем периметр параллелограмма. Периметр параллелограмма равен сумме длин его сторон:

AB = √[(0 - (-6))^2 + (5 - 1)^2] = √[6^2 + 4^2] = √(36 + 16) = √52
BC = √[(6 - 0)^2 + (-4 - 5)^2] = √[6^2 + (-9)^2] = √(36 + 81) = √117
CD = √[(0 - 6)^2 + (-8 - (-4))^2] = √[6^2 + (-4)^2] = √(36 + 16) = √52
DA = √[(-6 - 0)^2 + (1 - (-8))^2] = √[6^2 + 9^2] = √(36 + 81) = √117

Периметр параллелограмма ABCD:
P = AB + BC + CD + DA = √52 + √117 + √52 + √117 ≈ 10.233

Ответ: Площадь четырехугольника АВСD составляет 10.233.