Концы отрезка принадлежат двум перпендикулярным плоскостям. И с одной из плоскостей этот отрезок составляет угол 45°, а с другой плоскостью угол 30°. Длина этого отрезка равна а. Найдите длину отрезка, заключённого между перпендикулярами, опущенными на прямую пересечения плоскостей из концов данного отрезка.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть отрезок AB лежит в плоскости α под углом 45° и в плоскости β под углом 30°. Проведем перпендикуляры CD и EF, опущенные из точек C и D (концов отрезка AB) на прямую пересечения плоскостей.

Поскольку CD и AB перпендикулярны, а угол между плоскостью α и плоскостью перпендикулярен отрезку AB, треугольник ACD - равнобедренный. Так как угол ACB = 45°, то угол ACD = 45°/2 = 22,5°.

Аналогично, так как EF и AB перпендикулярны, и угол между плоскостью β и перпендикулярен отрезку AB, треугольник BEF - равнобедренный. Поскольку угол BCF = 30°, то угол BEF = 30°/2 = 15°.

Так как угол ACF = 45°, а угол BC = 30°, то угол ECD = 45° - 30° = 15°.

Теперь имеем два равнобедренных треугольника ACD и BEF, у которых углы ACB и BCF в соседних вершинах равны. Значит, треугольники ACD и BEF подобны. А значит, соответствующие стороны пропорциональны.

Таким образом, получаем, что CF/FE = CD/DE, где DE = AB. Пусть CF = x, тогда FE = 2x.

В треугольнике CEF по теореме косинусов получаем:

$CF^2 = EF^2 + CE^2 - 2 EF CE * cos(ECF)$.

Подставляя значения и учитывая, что cos(15°) = √(2+√3)/2, получаем:

$x^2 = 4x^2 + a^2 - 4 x a * √(2+√3)/2$,
$3x^2 = a^2 + 2ax√(2+√3)$,
$3x = a + 2a√(2+√3)$,
$x(3-2√(2+√3)) = a(1+2√(2+√3))$.

Таким образом, $x = a \frac{1+2√(2+√3)}{3-2√(2+√3)}$.

Выражение в скобках дает простое выражение √(2+√3). Подставляя значение этого корня, получаем:

$x = a \frac{1+√(2+√3)}{3-√(2+√3)}$.

Тогда $CF = a \frac{2+√(2+√3)}{3-√(2+√3)}$

Ответ: длина отрезка, заключенного между перпендикулярами, опущенными из концов данного отрезка, равна $a \frac{2+√(2+√3)}{3-√(2+√3)}$.