В треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает высоту BH в точке P. найдите соотношение BP:PH,если BC=96,а радиус описанной окружности треугольника ABC равен 50

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точку пересечения биссектрисы и высоты как P и расстояние от вершины А до точки P как t. Поскольку AP - биссектриса треугольника ABC, BP:PC = AB:AC. Так как BP = PC, то AB = AC, и треугольник ABC равнобедренный.
Таким образом, AD = BD = 96 / 2 = 48 и т.к. ABC прямоугольный, то D - середина AC.
Радиус описанной окружности выражается через хорду 96 и угол внутри круга A, как R = 48 / sin(A). Точка P - середина хорды. Поскольку D - середина этой хорды, PD = R cos(A/2) = 50 cos(А/2)

Из подобных треугольников APH и ABC, AP/AB = HP/BC => AP/48 = HP/96
AP = 48 cos(A/2)
48 cos(A/2)/48 = HP/96
HP = 48 * cos(A/2)/2

BP = HP
AP = 24 cos(A/2)
BP = 24 cos(A/2)

Таким образом BP:HP = 24 cos(A/2)/ 48 cos(A/2) = 1/2

Ответ: BP:HP = 1:2