Точка K лежит на стороне AB треугольника ABC с углом 120 градусов при вершине C . В треугольники AKC и BKC вписаны окружности с центрами O и Q соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника OQC, если OK = 6 , KQ = 7 .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку K лежит на стороне AB, то угол AKC равен углу BKC и равен 60 градусов.
Пусть радиус окружности с центром в точке O равен R. Тогда по теореме о сумме центрального угла и угла вписанного в дугу, угол COK равен углу вписанному в дугу KC, который равен половине угла AKC.
Таким образом, угол COK равен 30 градусам.
Рассмотрим треугольник OCK. Так как OK = R = 6, угол COK = 30 градусов, то по теореме синусов sin 30 = R / OC.
Так как sin30 = 0.5, то R = OC / 2.
Аналогично для треугольника KQC получаем, что QK / OC = sin 60, откуда OC = QK / sin 60 = 7 / sin 60.
Тогда R = 7 / (2 sin 60) = 7 / (2 √3 / 2) = 7 / √3 = 7√3 / 3.

Итак, радиус окружности, описанной около треугольника OQC, равен 7√3 / 3.