Медиана ВМ и биссектриса АР треугольника АВС пересекаются в точке К, длина стороны АС втрое больше длины стороны АВ. найдите отношение площади четырёхугольника КРСМ к площади треугольника АВС

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка К делит медиану ВМ в отношении m:n, где m+n=1. Тогда точка К делит биссектрису АР в отношении p:q, где p+q=1.

Так как медиана делит сторону пополам, то ВК=КМ=mBM=nAM. Также, биссектриса делит сторону пропорционально смежным ей сторонам, следовательно, AR=AP=pAC=qAB, то есть AR=3AP.

Из подобия треугольников ВКМ и ВАС, получаем BM/KM=AB/AC, откуда m/n=AB/AC. Также, из подобия треугольников АРП и АВС, получаем AR/RP=AB/AC, откуда p/q=AB/AC.

С учетом AR=3AP, получаем p=3q, откуда p=3/4, q=1/4. Следовательно, m=3/4, n=1/4.

Теперь находим площади четырехугольника КРСМ и треугольника АВС:

S(КРСМ)/S(АВС)= S(КРСМ)/S(КВМ)+S(КМП)-S(КРП)=KМPR/(BMAP)-S(КРP)= (1/4)*(3/4)/m=3/16

Ответ: отношение площади четырехугольника КРСМ к площади треугольника АВС равно 3/16.