Дана трапеция ABCD, в которой AB||CD, AB > CD. Известно, что в этой трапеции расстояние между серединами оснований равно расстоянию между серединами диагоналей. Докажите, что угол ADB – тупой.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим середины оснований трапеции как M и N, а середины диагоналей как K и L.

Так как M и N - середины оснований, то MN || AD и MN || BC. Также, как середины каждой из сторон, MN = 1/2(AB + CD).

Так как K и L - середины диагоналей, то KL || AC и KL || BD. Также KL = 1/2(AC + BD).

Из условия известно, что MN = KL. По свойству параллельных прямых, получаем, что MNKL - параллелограмм.

Из этого следует, что KM = NL и KN = LM.

Рассмотрим треугольник KAD. Так как KM = NL и MN || AD, то по свойству параллелограмма угол MKL = угол KAD.

Аналогично для треугольника BCD получаем, что угол LKM = угол KBC.

Сложив углы MKL и LKM, получаем, что угол ADB = угол KBC + угол KAD.

Так как угол KAD + угол KBC = 180 градусов, то угол ADB = 180 градусов - угол KAD - угол KBC.

Угол ADB тупой, так как сумма углов треугольника равна 180 градусов.