Радиус оснований усеченного конуса 6 см и 10 см. образующая наклонена к плоскости большего основания под углом 60 градусов

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения высоты ( h ) усеченного конуса с радиусами оснований 6 см и 10 см и образующей, наклоненной к плоскости большего основания под углом 60 градусов, можно воспользоваться теоремой косинусов.

Пусть ( R ) - радиус большего основания (10 см), ( r ) - радиус меньшего основания (6 см), ( l ) - образующая, ( h ) - высота.

Тогда по теореме косинусов в треугольнике с вершиной в центре большего основания, биссектрисой угла ( \alpha = 60^\circ ) и стороной ( R ) получаем:
[ l^2 = h^2 + R^2 - 2hR \cos{\alpha} ]

Также, в рассматриваемом треугольнике ( \cos{\alpha} = \frac{r}{l} ), а из подсчетов радиусов ( R^2 = r^2 + h^2 ), потому что аналогичный треугольник находится приложенным к меньшему основанию.

Таким образом, подставив значения, получаем:
[ l^2 = h^2 + r^2 + h^2 - 2hr ]
[ l^2 = 2h^2 + r^2 - 2hr ]

Подставим в формулу для ( l^2 ) значения их величин:
[ l^2 = 2h^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 ]
[ l^2 = 2h^2 + 36 - 120 ]
[ l^2 = 2h^2 - 84 ]

Теперь найдем ( h ):
[ h^2 = \frac{l^2 + 84}{2} ]
[ h^2 = \frac{100^2 + 84}{2} ]
[ h^2 = \frac{10000 + 84}{2} ]
[ h^2 = \frac{10084}{2} ]
[ h^2 = 5042 ]
[ h ≈ \sqrt{5042} ]
[ h ≈ 71,02 \text{ см} ]

Таким образом, высота усеченного конуса составляет около 71,02 см.