В выпуклом четырехугольнике ABCD проведены диагонали AC и BD. Известно, что AD=2, ABD=ACD=90 и расстояние между точками пересечения биссектрис треугольников ABD и ACD равно корню из 2. Найдите длину стороны BC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точку пересечения биссектрис треугольников ABD и ACD за точку M.

Из условия задачи следует, что $\angle BAM = \angle CAM = \angle DAM$ и $\angle CBM = \angle CDM = \angle BDM$.

Так как $\angle ABD = \angle ACD = 90$, то треугольники ABD и ACD являются прямоугольными.

Получаем, что $AM = AD = 2$ и $DM = CM = DC = 2$, так как треугольники ACD и CDM равнобедренные.

Теперь рассмотрим треугольник BMC. Так как BM - биссектриса угла BMD, то по теореме синусов получаем следующее:

$\frac{BC}{\sin(\angle CBM)} = \frac{BM}{\sin(\angle BCM)}$

$\frac{BC}{\sin(\angle BDM)} = \frac{BM}{\sin(\angle BCM)}$

Из условия $\sin(\angle CBM) = \sin(\angle BCM)$, поэтому:

$BC = \frac{BM \cdot \sin(\angle BDM)}{\sin(\angle BCM)} = \frac{\sqrt{2} \cdot 1}{1} = \sqrt{2}$

Ответ: длина стороны BC равна $\sqrt{2}$.