Докажите, что в равнобедренной трапеции биссектрисы двух углов, прилежащих к боковой стороне, взаимно перпендикулярны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB || CD, AB = CD. Пусть точка M – точка пересечения биссектрис углов A и D, а точка N – точка пересечения биссектрис углов B и C.

Так как трапеция ABCD равнобедренная, то углы A и D, B и C равны между собой. Пусть углы A и D равны α, а углы B и C равны β.

Теперь заметим, что треугольник AMB равнобедренный, так как MA = MB (биссектриса угла A) и угол AMB равен α/2 (так как AM – биссектриса угла A). Аналогично, треугольник CND равнобедренный.

Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то угол AMB равен углу AMD, то есть угол AMN равен α. Аналогично, угол CNM равен β.

Теперь рассмотрим треугольник AMN. Угол AMN равен α, угол MNA равен 90° (так как AM и AN – биссектрисы), следовательно, угол ANM равен 90°-α.

В треугольнике CNM угол CNM равен β, угол CMN равен 90°, следовательно, угол CNM равен 90°-β.

Таким образом, углы ANM и CNM в сумме дают 90°, следовательно, биссектрисы углов прилежащих к боковой стороне треугольника взаимно перпендикулярны.