Угол между плоскостями АВС и АВD равен 60°, при этом DA AB, CB AB и АD = 2, АВ = 4, СВ = 3. Найдите CD

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем угол ABC между плоскостями АВС и АВD. Так как угол между плоскостями АВС и АВD равен 60°, то дополнительный угол между ними, то есть угол ABC, равен 180° - 60° = 120°.

Теперь посмотрим на треугольник ABC. Заметим, что AC = AD + CD, то есть AC = 2 + CD. Также заметим, что угол ABC = 120°.

Применим теорему косинусов к треугольнику ABC:
cos(120°) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2ABAC)
cos(120°) = (4^2 + (2+CD)^2 - 3^2) / (24(2+CD))
cos(120°) = (16 + 4 + 4CD + CD^2 - 9) / (8 + 8CD)
cos(120°) = (11 + 4CD + CD^2) / (8 + 8CD)
cos(120°) = (11 + 4CD + CD^2) / 8(1 + CD)
cos(120°) = (11 + 4CD + CD^2) / 8 + 8CD

Так как cos(120°) = -1/2, то:
(-1/2) = (11 + 4CD + CD^2) / 8 + 8CD
-4 - 8CD = 11 + 4CD + CD^2
CD^2 + 12CD + 15 = 0
(CD + 3)(CD + 5) = 0
CD = -3 или CD = -5

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то CD = 3. Ответ: CD = 3.