В треугольнике abc отношения сторон AB:BC:CA=5:7:9; BP и CM - ,bc и cm - биссектрисы, K - середина BC. Найти отношение площадей треугольников ABC и PMK

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AB = 5x, BC = 7x, CA = 9x. Тогда по формуле биссектрисы находим cM = 9x, BM = 7x.

Также, так как K - середина BC, то BK = KC = 3.5x.

Теперь можно найти длину стороны AK. По теореме Пифагора в треугольнике ABC:

AC^2 = AB^2 + BC^2
(9x)^2 = (5x)^2 + (7x)^2
81x^2 = 25x^2 + 49x^2
81x^2 = 74x^2
7x = 3 AK.

Теперь найдем площадь треугольника ABC:

SABC = (1/2) AB AC sin(ACB)
SABC = (1/2) 5x 9x sin(ACB)
SABC = 22.5x^2 * sin(ACB)

Далее найдем SPMK, где P - точка пересечения биссектрис и отрезка BC:

SPMK = SABC - SAMP - SMBP
SPMK = SABC - (1/2) AM (MP) sin(AMP) - (1/2) BM (MP) sin(BMP)

Так как AM = 7x, MP = x, sin(AMP) = sin(BMP) = (7/15), тогда:

SPMK = 22.5x^2 sin(ACB) - (1/2) 7x x (7/15) - (1/2) 7x x (7/15)
SPMK = 22.5x^2 sin(ACB) - 2.1x^2

Теперь найдем отношение площадей треугольников ABC и PMK:

SABC/SPMK = (22.5x^2 sin(ACB)) / (22.5x^2 sin(ACB) - 2.1x^2)
SABC/SPMK = 1 / (1 - (2.1 / (22.5 * sin(ACB))))
SABC/SPMK = 1 / (1 - 0.093)
SABC/SPMK ≈ 1 / 0.907
SABC/SPMK ≈ 1.1

Отношение площадей треугольников ABC и PMK равно примерно 1.1.