Докажите, что расстояние от вершины треугольника до любой точки противолежащей стороны меньше половины периметра треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть дан треугольник ABC и точка P на противоположной стороне от вершины A.

Обозначим длины сторон треугольника как a, b, c, а расстояние от точки P до стороны AB как h.

Тогда пусть точка D - точка пересечения высоты из вершины A и стороны BC.

По свойству треугольника ADP и прямоугольного треугольника ADB:
h < AD

Так как D - середина стороны BC, то DB = DC = b/2

Используя теорему Пифагора в треугольнике ADB, получим:
AD^2 = b^2/4 + h^2

Аналогично, из теоремы Пифагора в треугольнике ADC получим:
AD^2 = c^2/4 + h^2

Объединяя оба уравнения, получаем:
b^2/4 + h^2 = c^2/4 + h^2

b^2 = c^2

Из этого следует, что b = c

Таким образом, b + c = 2b = 2c

Следовательно, полупериметр треугольника равен (a + b + c)/2 = (a + 2b)/2 = a + b = a + c

Это означает, что полупериметр треугольника равен сумме длин двух сторон треугольника, которые не содержат вершину A.

Из этого следует, что расстояние от вершины треугольника до любой точки противолежащей стороны меньше половины периметра треугольника.