Стороны параллелограмма равны 6 и 4, а угол между его диагоналями равен 45. Найдите площадь

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления площади параллелограмма нам нужно найти длины его диагоналей, используя теорему косинусов.

Пусть a и b - стороны параллелограмма, а d1 и d2 - его диагонали.

Так как угол между диагоналями параллелограмма равен 45 градусов, то можем записать:

cos(45) = (d1^2 + d2^2 - a^2 - b^2)/(2d1d2)

Так как стороны параллелограмма равны 6 и 4:

cos(45) = (d1^2 + d2^2 - 6^2 - 4^2)/(2d1d2)

cos(45) = (d1^2 + d2^2 - 36 - 16)/(2d1d2)

cos(45) = (d1^2 + d2^2 - 52)/(2d1d2)

Так как cos(45) = sqrt(2)/2:

sqrt(2)/2 = (d1^2 + d2^2 - 52)/(2d1d2)

sqrt(2) = (d1^2 + d2^2 - 52)/(2d1d2)

Умножим обе части уравнения на 2d1d2:

2sqrt(2)d1*d2 = d1^2 + d2^2 - 52

Теперь можем найти квадраты диагоналей:

(d1 + d2)^2 = d1^2 + d2^2 + 2d1d2
(d1 - d2)^2 = d1^2 + d2^2 - 2d1d2

Подставим найденное равенство в первое уравнение:

2sqrt(2)d1*d2 = (d1 + d2)^2 - 52

Так как стороны параллелограмма равны 6 и 4, а диагонали являются его диагоналями, а также стороны параллелограмма являются сторонами треугольника, из теоремы Пифагора найдем треугольники треугольники образованные диагональю.

Итак, (d1 + d2)^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52

Так как d1 + d2 = sqrt(52) = 2*sqrt(13)

Подставим это значение в уравнение:

2sqrt(2)d1d2 = (2sqrt(13))^2 - 52

2sqrt(2)d1*d2 = 52 - 52

2sqrt(2)d1*d2 = 0

Отсюда сразу видим, что одна из диагоналей равна 0, что невозможно. Следовательно, по данному условию нельзя найти площадь параллелограмма.