Прямая, лежащая в одной из граней двугранного угла, параллельна его ребру. Найдите величину двугранного угла, если расстояние от данной прямой до второй грани вдвое меньше расстояния от прямой до ребра угла

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть данное двугранное угол имеет две грани и ребро, а также прямая, параллельная ребру и лежащая в одной из граней. Обозначим угол между этой прямой и ребром через α.

Пусть расстояние от данной прямой до второй грани равно d1, а расстояние от прямой до ребра угла равно d2.

По условию задачи у нас есть
d1 = 2d2.

Так как прямая параллельна ребру угла и лежит в одной из граней, прямая и ребро угла образуют прямой угол. Таким образом, угол между прямой и ребром равен 90 градусов.

Также мы знаем, что расстояние от точки до прямой равно высоте треугольника, образованного этой точкой и прямой.

Посмотрим на треугольник, образованный данными этим углом α, прямой и второй гранью. Угол между прямой и гранью равен 180 градусов - α.

Применим так называемое правило косинусов в этом треугольнике:

d1^2 = d2^2 + h^2 - 2 d2 h * cos(180 - α).

Подставляем известные значения:

(2d2)^2 = d2^2 + h^2 - 2 d2 h cos(180 - α)
4d2^2 = d2^2 + h^2 + 2 d2 h cos(α).

Теперь используем правило косинусов в треугольнике, образованном углом α, ребром угла и прямой:

h^2 = d2^2 + h^2 - 2 d2 h * cos(α).

d2 h cos(α) = 0.

Так как h не равно 0, так как длина отрезка высоты ненулевая, то cos(α) = 0.

Отсюда получаем α = 90 градусов.

Таким образом, величина двугранного угла составляет 90 градусов.