В правильной четырехугольной призме диагональ наклонена к боковой грани под углом 30градусов. Вычислите угол наклона её к основанию.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть основание призмы является прямоугольником, а его стороны равны a и b. Тогда диагональ призмы равна √(a^2 + b^2).

Из условия задачи известно, что диагональ наклонена к боковой грани под углом 30 градусов. Таким образом, косинус угла наклона диагонали к боковой грани равен cos(30°) = √3/2.

Косинус угла наклона диагонали к основанию равен отношению высоты призмы к диагонали: cos(α) = h / √(a^2 + b^2).

Далее, так как две смежные грани призмы являются равнобедренными треугольниками, то отношение стороны a к высоте h равно tg(α/2), где α - угол наклона диагонали к основанию.

Таким образом, cos(α) = h / √(a^2 + b^2) = h / √(h^2 + (a/2)^2).

Так как cos(30) = √3/2, то сравниваем два уравнения и получаем:

√3/2 = h / √(h^2 + (a/2)^2).

Решив уравнение относительно h, получаем:

h = √3 / 2 * (a/2).

Таким образом, tg(α/2) = a / h = 2 / √3.

Известно, что tg(30) = √3, поэтому можем записать:

tg(α/2) = √3 / 2.

Из этого следует, что α/2 = 30 градусов, то есть угол наклона диагонали к основанию равен 60 градусов.