1. Треугольники ABC и MNK подобны. Их сходственные стороны относятся как 8:5. Площадь треугольника ABC больше площади треугольника MNK на 25 кв.см. Найдите площади треугольников. 2. В прямоугольном треугольнике ABC к гипотенузе AC проведена высота BE, ВС=2 см, АD=3 см. Найдите: DC, BD, AB.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть стороны треугольников ABC и MNK соответственно равны a и b.
Тогда площади треугольников можно выразить как S(ABC) = 1/2 a h1 и S(MNK) = 1/2 b h2, где h1 и h2 - высоты треугольников.
Так как треугольники подобны, отношение площадей равно квадрату отношения их сторон:
S(ABC) / S(MNK) = (a^2 / b^2) = (8/5)^2 = 64/25
Также из условия задачи мы знаем, что S(ABC) - S(MNK) = 25 кв.см
Таким образом, имеем уравнение:
1/2 a h1 - 1/2 b h2 = 25
a / b = 8 / 5
a^2 / b^2 = 64 / 25
Из этих уравнений можно найти площади треугольников.

Из условия прямоугольного треугольника ABC и проведенной высоты BE следует, что треугольники BEA и CEB подобны, а значит:
AB / BC = BE / EA
AB / BC = 2 / 3 (так как BE = 2 см и AE = 3 см)
AB^2 + BC^2 = AC^2 (теорема Пифагора)
Подставляем AB = 2k и второе уравнение AB / BC = 2 / 3:
(2k)^2 + (3k)^2 = (2k)^2
4k^2 + 9k^2 = 4k^2
13k^2 = 4k^2
9k^2 = 4
k = 2 / 3
Тогда AB = 2 (2/3) = 4/3 см
BC = 3 (2/3) = 2 см
AC = sqrt((4/3)^2 + 2^2) = sqrt(16/9 + 4) = sqrt(40/9) = 2√10 / 3 см

BD = AB - AD = 4/3 - 3 = -5/3 см (отрицательное значение, не может быть длиной)
DC = AC - AD = 2√10 / 3 - 3 = (2√10 - 9) / 3 см