В треугольника ABC угол B - тупой. AD - биссектриса треугольникаю Докажите что AD>AB

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства неравенства AD > AB воспользуемся теоремой синусов:

В треугольнике ABD:
sin(DBA) / AB = sin(ABD) / AD

Но sin(DBA) = sin(C) (так как угол B - тупой, то угол DBA = C)

Таким образом, sin(C) / AB = sin(ABD) / AD

В треугольнике ABC:
sin(C) / AB = sin(ACB) / BC

Таким образом, sin(ACB) / BC = sin(ABD) / AD

Так как угол B - тупой, то угол ACB < 90 градусов, следовательно, sin(ACB) < 1

Так как AB < BC, то sin(ACB) / BC < sin(ACB) / AB

Следовательно, sin(ACB) / BC < sin(ACB) / AB

Из этого следует, что sin(ACB) / BC < sin(ABD) / AD

Так как sin(ACB) / BC < 1 / BC (так как sin(ACB) < 1), то получаем:

1 / BC < sin(ABD) / AD

Отсюда, AD > AB.