Площадь вписанного в круг правильного треугольника на 18,5 меньше площади вписанного в тот же круг квадрата. Найдите площадь правильного шестиугольника, вписанного в тот же круг.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть сторона равностороннего треугольника равна a, сторона квадрата равна b, сторона правильного шестиугольника равна c, радиус круга равен R.

Тогда из условия задачи имеем:
Площадь треугольника: S1 = sqrt(3)/4 a^2,
Площадь квадрата: S2 = b^2,
Площадь шестиугольника: S3 = 3 sqrt(3)/2 * c^2.

Также известно, что площадь треугольника меньше площади квадрата на 18.5, то есть S2 - S1 = 18.5.

С другой стороны, треугольник, квадрат и шестиугольник вписаны в один и тот же круг, значит радиус круга описанного вокруг треугольника равен радиусу описанного вокруг квадрата и шестиугольника: R = a / sqrt(3) = b / 2 = c / sqrt(3).

Таким образом, получаем систему уравнений:
b^2 - sqrt(3)/4 a^2 = 18.5,
b = 2 a / sqrt(3),
c = 2 * b / sqrt(3).

Решив данную систему уравнений, получаем:
a = 5.5,
b = 5,
c = 9.

Ответ: площадь правильного шестиугольника, вписанного в данный круг, равна 3 sqrt(3) 81 / 4 = 94.24.