Площадь вписанного в круг правильного треугольника на 18,5 меньше площади вписанного в тот же круг квадрата. Найдите площадь правильного шестиугольника, вписанного в тот же круг.
Пусть сторона равностороннего треугольника равна a, сторона квадрата равна b, сторона правильного шестиугольника равна c, радиус круга равен R.
Тогда из условия задачи имеем Площадь треугольника: S1 = sqrt(3)/4 a^2 Площадь квадрата: S2 = b^2 Площадь шестиугольника: S3 = 3 sqrt(3)/2 * c^2.
Также известно, что площадь треугольника меньше площади квадрата на 18.5, то есть S2 - S1 = 18.5.
С другой стороны, треугольник, квадрат и шестиугольник вписаны в один и тот же круг, значит радиус круга описанного вокруг треугольника равен радиусу описанного вокруг квадрата и шестиугольника: R = a / sqrt(3) = b / 2 = c / sqrt(3).
Таким образом, получаем систему уравнений b^2 - sqrt(3)/4 a^2 = 18.5 b = 2 a / sqrt(3) c = 2 * b / sqrt(3).
Решив данную систему уравнений, получаем a = 5.5 b = 5 c = 9.
Ответ: площадь правильного шестиугольника, вписанного в данный круг, равна 3 sqrt(3) 81 / 4 = 94.24.
Пусть сторона равностороннего треугольника равна a, сторона квадрата равна b, сторона правильного шестиугольника равна c, радиус круга равен R.
Тогда из условия задачи имеем
Площадь треугольника: S1 = sqrt(3)/4 a^2
Площадь квадрата: S2 = b^2
Площадь шестиугольника: S3 = 3 sqrt(3)/2 * c^2.
Также известно, что площадь треугольника меньше площади квадрата на 18.5, то есть S2 - S1 = 18.5.
С другой стороны, треугольник, квадрат и шестиугольник вписаны в один и тот же круг, значит радиус круга описанного вокруг треугольника равен радиусу описанного вокруг квадрата и шестиугольника: R = a / sqrt(3) = b / 2 = c / sqrt(3).
Таким образом, получаем систему уравнений
b^2 - sqrt(3)/4 a^2 = 18.5
b = 2 a / sqrt(3)
c = 2 * b / sqrt(3).
Решив данную систему уравнений, получаем
a = 5.5
b = 5
c = 9.
Ответ: площадь правильного шестиугольника, вписанного в данный круг, равна 3 sqrt(3) 81 / 4 = 94.24.