Докажите,что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений,

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед со сторонами a, b и c, и диагональю d.

По теореме Пифагора для трехмерных фигур:

d^2 = a^2 + b^2 + c^2.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

(d^2)^2 = (a^2 + b^2 + c^2)^2.

d^4 = a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2.

Но по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:

a^2 + b^2 = c^2.

Подставляем это в предыдущее уравнение:

d^4 = c^4 + c^4 + 2a^2c^2 + c^4 + 2b^2c^2.

d^4 = 3c^4 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2.

Теперь заметим, что a^2 = (c^2 - b^2) и b^2 = (c^2 - a^2).

Подставляем это в уравнение:

d^4 = 3c^4 + 2(c^2 - b^2)c^2 + 2(c^2 - a^2)c^2.

d^4 = 3c^4 + 2c^4 - 2b^2c^2 + 2c^4 - 2a^2c^2.

d^4 = 3c^4 + 2c^4 - 2c^4 + 2c^4 - 2c^4.

d^4 = 3c^4 + 2c^4 - 2c^4 + 2c^4 - 2c^4.

d^4 = 3c^4.

d^2 = c^2.

Таким образом, квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.