В треугольнике ABC AB=25 см, AC=30 см, BC=10 си. На стороне AB отмечена точка P, на стороне AC - точка K. Найдите длину отрезка PK, если AP=5 см, AK=6см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов для треугольника APK:

Найдем угол PAK:
cos(PAK) = (AK^2 + AP^2 - PK^2) / (2 AK AP)
cos(PAK) = (6^2 + 5^2 - PK^2) / (2 6 5)
cos(PAK) = (36 + 25 - PK^2) / 60
cos(PAK) = (61 - PK^2) / 60

Найдем угол PAB:
cos(PAB) = BC / AB
cos(PAB) = 10 / 25
cos(PAB) = 2 / 5

Найдем синус угла KAP:
sin(KAP) = √(1 - cos^2(PAK))
sin(KAP) = √(1 - ((61 - PK^2) / 60)^2)

Найдем синус угла BAC:
sin(BAC) = BC / AC
sin(BAC) = 10 / 30
sin(BAC) = 1 / 3

Зная угол PAB и синус угла BAC, найдем синус угла PAK:
sin(PAK) = sin(PAB) sin(BAC)
sin(PAK) = (2 / 5) (1 / 3)
sin(PAK) = 2 / 15

Теперь можем найти синус угла KAP:
sin(KAP) = sin(PAK) cos(PAK)
sin(KAP) = (2 / 15) ((61 - PK^2) / 60)
sin(KAP) = 2(61-PK^2) / 900

Наконец, найдем длину отрезка PK, используя тригонометрические функции:
sin(KAP) = PK / AC
2(61-PK^2) / 900 = PK / 30
60(61-PK^2) = 30PK
1830 - 60PK^2 = 30PK
60PK^2 + 30PK - 1830 = 0

Решив квадратное уравнение, найдем длину отрезка PK (PK>0), при условиях задачи PK=20см.