Основание прямой призмы - ромб со стороной а и острым углом 60 градусов. Большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол в 30 градусов. Найдите: а) длину меньшей диагонали призмы, б)площадь полной поверхности призмы, в) объем призмы

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для нахождения длины меньшей диагонали призмы можно воспользоваться теоремой косинусов для треугольника, образованного диагоналями ромба:
$$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = 2a^2 - 2a^2 \cdot \frac{1}{2} = a^2.$$
Отсюда получаем, что длина меньшей диагонали равна а.

б) Площадь полной поверхности призмы складывается из площадей двух оснований и четырех боковых поверхностей. Площадь каждого основания ромба равна $S{\text{осн}} = \frac{a \cdot a \sin(60^\circ)}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2}$. Площадь каждой боковой поверхности равна $S{\text{бок}} = a \cdot d1 = a \cdot a = a^2$. Таким образом, площадь полной поверхности призмы равна:
$$S{\text{полн}} = 2S{\text{осн}} + 4S{\text{бок}} = 2 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} + 4a^2 = a^2\sqrt{3} + 4a^2.$$

в) Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:
$$V = S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \cdot a = \frac{a^3\sqrt{3}}{2}.$$