В треугольнике СDЕ точка М лежит на стороне СЕ, причем угол СМD острый. Докажите, что DЕ > DМ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Пусть AC = a, BC = b, CE = c, MD = x, DE = y.

Так как M лежит на отрезке CE, который является стороной треугольника CDE, то y > x.

Рассмотрим треугольник CMD. Из теоремы косинусов для этого треугольника получаем:

cos(∠CMD) = (CD² + MD² - CM²) / (2 CD MD).

Так как угол CMD острый, то его косинус положителен. То есть:

CD² + MD² > CM²
CD > √(CM² + MD²) = √(a² + x²).

Рассмотрим теперь треугольник CDE. Из теоремы косинусов для него получаем:

cos(∠CDE) = (CD² + DE² - CE²) / (2 CD DE).

Так как угол CDE - прямой, то his(∠CDE) = 0, следовательно:

CD² + DE² = CE²
CD > √CE² = c.

Получаем неравенство:

√(a² + x²) < c
a² + x² < c²
x² < c² - a²
x < √(c² - a²)

Из неравенства y > x и x < √(c² - a²) следует:

y > x < √(c² - a²)
y < √(c² - a²)

DE = y < √(c² - a²) = DE

Таким образом, мы доказали, что DЕ > DМ.