Отрезок CD высота треугольника abc с прямым углом с. известно что bc=2bd.докажите что ad=3bd

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим отрезок BD как x. Тогда отрезок BC будет равен 2x. Так как CD является высотой треугольника ABC, то площадь треугольника ABC можно выразить как (ABCD)/2. Так как треугольник ABC прямоугольный, то его площадь также можно выразить как (BCAC)/2.

Из условия задачи известно, что BC = 2BD и по теореме Пифагора (AB^2 = AC^2 + BC^2) получаем, что AB = √(x^2 + (2x)^2) = √(5x^2). Теперь можем выразить площади треугольника ABC двумя способами:

(ABCD)/2 = (BCAC)/2
(√(5x^2)CD)/2 = (2x√(5x^2 - x^2))/2

Упростим это выражение:

√(5x^2)CD = 2x√(5x^2 - x^2)
5xCD^2 = 4x^2(5 - 1)
5x*CD^2 = 16x^2
CD = √(16x^2/5) = 4x/√5

Теперь можем выразить отрезок AD как AD = AB - BD = √(5x^2) - x = x(√5 - 1). Таким образом, отрезок AD равен 3 раза отрезку BD, что и требовалось доказать.