8. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O , которая удалена от прямой CD на 6 см. Найдите площадь треугольника AOB , если CD  8 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем высоту трапеции ABCD, опущенную из вершины A на сторону CD. Обозначим эту высоту через h.

Поскольку точка O удалена от прямой CD на 6 см, то точка O лежит на линии, проходящей симметрично относительно высоты h (высоты из вершины A) относительно сторон AB и CD. Таким образом, высота трапеции равна 2h.

Теперь рассмотрим треугольник AOD. Он является прямоугольным, поскольку диагонали трапеции ABCD пересекаются. Таким образом, AO и OD - это радиусы правильного четырехугольника AOCD, и поэтому равны. Из этого следует, что треугольник AOD равнобедренный.

Поэтому:

OD = AD = 4 см,
AD = CO = 4 см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. По условию, CD является его основанием и равно 8 см. Высота треугольника AOB равна 2h. Так как AO = OD = 4 см, следовательно, h = AO = OD = 4 см.

Теперь можем вычислить площадь треугольника AOB:

S = 0,5 AB h = 0,5 8 4 = 16 см^2.

Площадь треугольника AOB равна 16 квадратным сантиметрам.