Через вершину конуса проведена плоскость сечения под углом 45° к основанию. Эта плоскость пересекает основание по хорде, которую видно с центра основания под углом 60°. Найти объём конуса, если расстояние от центра основания к хорде равно 9 см (π≈3)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть R - радиус основания конуса, h - его высота, x - половина хорды на расстоянии от центра основания конуса.

Так как хорда видна из центра под углом 60°, то треугольник, образованный радиусом конуса, половиной хорды и линией зрения работника, является равнобедренным с углом в вершине 60°.

Значит, мы можем записать: R = x / cos(30°) = x * √3.

Также можем записать, что h = R * tg(45°) = R.

Теперь можем записать объём конуса: V = 1/3 π R^2 h = 1/3 π (x √3)^2 x √3 = 1/3 π 27 * x^3 = 9πx^3.

Теперь, зная, что расстояние от центра основания к хорде равно 9 см, можем записать: x = 9 см / 2 = 4.5 см.

Подставляем значение x в формулу объёма: V = 9π (4.5)^3 = 9π 91.125 ≈ 2446.63 см^3.

Итак, объём конуса равен примерно 2446.63 см^3.